2.1 ทฤษฎีบทปีทาโกรัส

ทฤษฎีบทปิทาโกรัส

Pythagorus’s Theorem

           รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (Right Triangle) คือ รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งกาง 90° 

จากรูป ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งมี C เป็นมุมฉาก 

- AB เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก อยู่ตรงข้ามกับมุม C แทนด้วยความยาว c 

- AC เป็นด้านประกอบมุมฉาก อยู่ตรงข้ามกับมุม B แทนด้วยความยาว b 

- BC เป็นด้านประกอบมุมฉาก อยู่ตรงข้ามกับมุม A แทนด้วยความยาว a 




ทฤษฎีบทของปิทาโกรัส กล่าวไว้ว่า 

แบบที่ 1 ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ ความยาวกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากมีค่าเท่ากับผลบวกของความยาวกำลังสองของด้านประกอบมุมฉากทั้งสองด้าน       หรือพิจารณาจากพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ตามแบบที่ 2 คือ 


แบบที่ 2 ในรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากใด ๆ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากมีค่าเท่ากับผลบวกของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉากสองด้าน ดังรูปประกอบ

 

 

จากรูป จะสังเกตว่า พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสสีแดง(ด้านตรงข้ามมุมฉาก)จะเท่ากับ ผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสสีน้ำเงิน(ด้านประกอบมุมฉาก)   

 


ภาพแสดงความสัมพันธ์ของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ทั้งสามรูป คือ
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้าน c  เท่ากับ 25 ตารางหน่วย    
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้าน a และ b เท่ากับ 16 และ 9 ตารางหน่วยตามลำดับ
ซึ่งจะเห็นว่า 9 + 16 = 25
                   32 + 42 = 52 
นั่นคือ       a2 + b2 = c2 

 

 

จากทฤษฎีบททั้ง 2 แบบ จะได้ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ดังนี้ 
 

c2   =  a2+b2

 

โดยที่ c เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก และ a และ b เป็นความยาวของด้านประกอบมุมฉาก

หรือ

a2   =  c2 - b2              และ            b2   =  c2 - a2  

 

 

ตามที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น หาก c แทนความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก และ a และ b แทนความยาวของด้านประกอบมุมฉากแล้ว ทฤษฎีบทปีทาโกรัสจะสามารถเขียนในรูปสมการปีทาโกรัสได้ดังนี้  

  

ถ้าทราบความยาวของทั้ง a และ b ค่า c จะสามารถคำนวณได้ดังนี้ 

 

ถ้าทราบความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก c และด้านประกอบมุมฉากด้านใดด้านหนึ่ง (a หรือ b) แล้ว ความยาวด้านที่เหลือสามารถคำนวณได้ดังนี้         

หรือ         

 

 

 

http://geogebratube.org/student/m56231

 

 

ตัวอย่างที่ 1     จงหาความยาวที่เหลือของรูปสามเหลี่ยมต่อไปนี้

 

วิธีทำ 
        จากรูป a=4 , b=3 หาค่าของ c 
        จะได้ว่า    c2      =      42 + 32 
                        c2      =      (4 x 4) + (3 x 3)
                        c2      =      16 + 9
                        c2      =      25
                        c2      =      52

 ดังนั้น              c        =      5
ตอบ   c ยาว 5 หน่วย 
ตัวอย่างที่ 2     จงหาความยาวที่เหลือของสามเหลี่ยมต่อไปนี้ 

 

วิธีทำ 
        จะได้ว่า    d2      =      72+242
                        d2      =      (7 x 7) + (24 x 24)
                        d2      =      49+576
                        d2      =      625
                        d2      =      252

 ดังนั้น              d       =      25 


ตอบ d ยาว 25 หน่วย 
ตัวอย่างที่ 3     จงหาความยาวที่เหลือของสามเหลี่ยมต่อไปนี้ 

 

วิธีทำ 

        จะได้ว่า    m2      =      132- 52
                        m2      =      (13 X 13) – (5 X 5)
                        m2      =      169 – 25
                        m2      =      144
                        m2      =      122

 ดังนั้น             m         =      12 

ตอบ m ยาว 12 หน่วย